已知a<b,求a^b=b^a的整数解的个数

今天我们来看一个简单的数学问题: 已知\(a<b\),求\(a^b=b^a\)的正整数解的个数。

由于上面的等式中有幂的运算,应该可以想到在两边同时取对数将其转换为乘法: }

$$\log(a^b)=\log(b^a) \rightarrow b\log(a)=a\log(b) \rightarrow \frac{\log(a)}{a}=\frac{\log(b)}{b}$$

经过上述的转换,题目转变成了:已知\(f(x)=\frac{\log(x)}{x}\), 求\(f(a)=f(b)\)的正整数解的个数。所以接下来需要研究一下\(f(x)\)的性质了。先对\(f(x)\)求导:

$$\frac{df}{dx}=\frac{1-\log(x)}{x^2}$$

由此可见,令\(f'(x)=0\),得到唯一驻点\(x=e\),当\(0<x<e\),f(x)单调递增,当\(x>e\)\(f(x)\)单调递减。所以可以得到\(0<a<e\)并且\(b>e\)。也因为\(a\)\(b\)都为正整数,所以\(a\)只可能是\(1\)或者\(2\)。但是\(f(1)=0\)\(f(x)\)不存在其它任何和x轴的交点,所以\(a\)只可能等于\(2\)。稍微试验便可发现\(b\)等于\(4\)

最终结果为该等式正整数解的个数为1个,即\(a=2\)\(b=4\)

由图1\(f(x)=\frac{log(x)}{x}\)的函数图便可清楚的看出:

Figure 1: f(x)=log(x)/x.

(以上\(log\)均为自然对数)


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By @Zhengyi Yang in
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